Pitágoras y los Pitagóricos.

Pitágoras de Samos. (585  a.C. hasta el 497  a.C. aproximadamente)

La  figura  de  Pitágoras,  nacido  en  la  isla  griega  de  Samos alrededor del  585  a.C. ,  está  envuelta  en  un  halo  de leyenda  y  misterio  casi  de  tipo  religioso. Viajó  por  Egipto  y  Babilonia, impregnándose  de  conocimientos  matemáticos,  astronómicos  y  filosóficos.  Tras  ese viaje  retornó  al  mundo  griego,  instalándose  en  Crotona,  al  sur  de  Italia.

Antigua Crecía.

Desde niño aprendió a tocar la lira y estudió poesía griega de su época. Entre los 18 y 20 años, viajó a la ciudad de Mileto y visitó a Tales, si bien ya Tales era un venerable anciano que despertó en Pitágoras el amor por las Matemáticas y la astronomía y fue sin duda quien le indico a viajar a Egipto para aprender más sobre estos temas. Anaximandro, pupilo de Tales, impartía las enseñanzas de este, lecturas a las cuales asistió Pitágoras, y muchas de sus ideas de geometría y cosmología influyeron en su propia visión.  Jimeno Martínez, C. (S. F.) afirma que “fue en Egipto, donde desarrollo el pensamiento místico, y también consolidó su formación en aritmética, geometría, astronomía y música”.(pag.1)

Tales de Mileto.

En el 522 a. C. Cambyses II rey de Persia invadió Egipto. Pólícrates rompió sus alianzas con Egipto y apoyo a los persas, Pitágoras fue hecho prisionero y llevado a Babilonia. Los babilonios reconocieron en Pitágoras al gran sabio griego, y en vez de estar en una cárcel, dejaron que en su casa tuviera una academia y en lugar de trabajos forzados le autorizaron el estudio de las matemáticas y la astronomía. No esta claro como obtiene su libertad pero muy probablemente fue a causa de la muerte de Cambyses y Pólicrates en el 522 a.C. y regresa a Samos. Las razones porque emigró al sur de Italia y eligió la ciudad Crotona, son fuente de especulación, supuestamente debido al poco éxito de sus enseñanzas en su ciudad natal y también que le exigían que participase en asuntos públicos y políticos.

Los Pitagóricos.

Fue en Crotana donde  funda  la  sociedad  secreta  de  los  Pitagóricos  que  alcanzó  más  de  300  adeptos aunque esto no se sabe con certeza debido a que hay autores que afirma que fueron más de 600. Tenían  el  rigor  y  el  ascetismo  como  normas  morales  y  de  conducta.  Lo  compartían  todo: los  bienes  materiales  y  los  conocimientos,  entre  ellos,  “los  matemáticos” así se hacían llamar.  Una  norma sagrada  era  el  secreto  hacia  el  exterior;  la  divulgación  de  su  sabiduría  le  pudo  costar  la vida  a  alguno  de  sus  miembros.  Su  símbolo  era  el  Pentagrama  o  estrella  de  5  puntas.

Pentagrama.

Participaron  en  la  política  de  su  cuidad  aliándose  con  la  facción aristocrática  y  terminaron  siendo  expulsados  violentamente.  Pitágoras  huyo  a  la cercana  Metaponto  y  allí  murió,  al  parecer  asesinado,  hacia  el  497  a.C.  Sus seguidores  se  esparcieron  por  otras  ciudades  griegas  y  continuaron  sus  enseñanzas.

Según La Universidad de Granada (S.F.). Poco  se sabe  de  la  vida  personal  de  Pitágoras  y  de  sus  seguidores, ni  se  puede  tener  la seguridad  de  qué  hay  que  atribuirle  a  él  o  a  sus  discípulos.  Por  lo  tanto,  cuando  se habla  de  la  obra  de  los  pitagóricos  hay  que  tener  en  cuenta  que  en  realidad  nos estamos  refiriendo  a  la  obra  del  grupo  entre  el  585  a.C., presunta  fecha  de  su nacimiento,  hasta  aproximadamente  el  400  a.C.

Una  de  las  grandes  contribuciones  de  los  pitagóricos  a  la  matemática  fue  el reconocimiento  consciente  de  que  los  objetos  matemáticos,  números  y  figuras geométricas,  son  abstracciones  o  ideas  producidas  por  la  mente  y  claramente  distintas de  los  objetos  o  imágenes  físicas. Tengamos  en  cuenta  que  los  conceptos geométricos  de  todas  las  civilizaciones  precedencias  estaban  decididamente  ligados  a la  materia  y  tenían  base  empírica. Los  primeros  pitagóricos  decían  que  todos  los objetos  estaban  compuestos  por  números  (siempre  enteros)  o  que  los  números  eran  la esencia  del  universo  en  sentido  literal,  porque  los  números  eran  para  ellos  como  los átomos  para  nosotros.  Se  supone  incluso  que  los  pitagóricos  de  los  siglos  VI  y  V  a.  C. no  distinguían  realmente  los  números  de  los  puntos  geométricos,  entendidos,   naturalmente,  como  puntos  extensos  o  esferas  minúsculas.  Eudemo  afirmó  que Pitágoras  fue  el  verdadero  creador  de  la  matemática  pura,  a  la  que  convirtió  en  un  arte liberal.

Los  pitagóricos  solían  representar  los  números  mediante  puntos  en  la  arena  o piedrecillas,  clasificándolos  según  las  formas  de  estas  distribuciones  de  piedras  o  de puntos.  Así,  los  números  1,  3,  6,  10,  etc.,  recibían  el  nombre  de  triangulares  porque los  puntos  correspondientes  podían  distribuirse  en  forma  de  triángulo  equilátero.  El cuarto  número  triangular,  el  10,  ejerció  una  fascinación  especial  sobre  los  pitagóricos, siendo  para  ellos  una  especie  de  numero  sagrado,  que  tiene  cuatro  puntos  en  cada lado;  el  4  era  otro  de  sus  números  favoritos.

Los  pitagóricos,  comprobaron  que  las  sumas  1,  1+2,  1+2+3,  y  así  sucesivamente, daban  lugar  a  los  números  triangulares  y  que  1+2+...+  n  =  n  (n+1)  /  2.  Los  números  1, 4,  9,  16,  etc,  recibieron  el  nombre  de  números  cuadrados  debido  a  que  sus  puntos   pueden  distribuirse  formando  cuadrados.  Los  números  compuestos  (o  no  primos)  que no  eran  cuadrados  perfectos  recibían  el  nombre  de  oblongos.

A  partir  de  las  distribuciones  geométricas  de  los  puntos  aparecían  como  evidentes ciertas  propiedades  de  los  números  enteros;  por  ejemplo,  trazando  la  recta  del  tercer número  cuadrado  se  descubre  que  la  suma  de  los  dos  números  triangulares consecutivos  es  un  número  cuadrado.  Esto  es  verdad  en  general,  como  se  puede  ver en  la  notación  moderna:  n(n+1)/2  +  (n+1)(n+2)/2  =  (n+1)²

Se  llamó  número  perfecto  a  todo  aquel  que  es  igual  a  la  suma  de  sus  divisores, incluido  el  1,  pero  no  el  propio  número. A  los  que  excedían  a la  suma  de  sus  divisores  se  les  llamo  excesivos,  y  al  los  que  eran  menores  de  dicha suma,  defectivos.  A  dos  números  se  los  llamo  amigos  cuando  cada  uno  de  ellos  era igual  a  la  suma  de  los  divisores  del  otro.

Véase los siguientes ejemplos:

Los  pitagóricos  descubrieron  una  regla  para  construir  ternas  de  números  enteros  que pudieran  ser  lados  de  un  triángulo  rectángulo.  Así, descubrieron  que  si  m  es  impar,  entonces  m,  (m²+1)/2  y  (m²-1)/2 constituyen  una  de  esas  ternas.  Sin  embargo  esta  regla  solamente  da  alguna  de  ellas. Cualquier  terna  de  números  enteros  que  represente  los  lados  de  un  triángulo rectángulo  recibe  el  nombre  de  terna  pitagórica.

Para  los  pitagóricos,  los  números  eran  únicamente  los  números  enteros,  una  razón entre  dos  números  enteros  no  era  una  fracción  y,  por  lo  tanto,  otro  tipo  de  número como  en  la  época  moderna.  Interpretaban  por  ejemplo  ¼  como  una  unidad “entera”  que  sumada  cuatro  veces  generaba  una  unidad  mayor.  Tenían  una  visión mística  de  los  números  enteros,  de  los  que  pensaban  era  la  base  sobre  la  que  se sustentaba  el  universo,  todo  estaba  sometido  a  un  orden  por  lo  que  cualquier  razón debía  ser  racional.  Los  pitagóricos  se  vieron  desagradablemente  sorprendidos  por  el descubrimiento  de  que  algunas  razones, como  La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros. Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales o razones  inconmensurables.

El descubrimiento  de  las  razones  inconmensurables  se  atribuye  a  Hipaso  de  Metaponto (siglo  V  a.  C.).  Cuenta  la  leyenda  que  los  pitagóricos  se  encontraban  navegando  en  el mar  en  aquella  época,  y  que  tras  ese  descubrimento  lanzaron  a  Hipaso  por  la  borda, un poco al estilo de los piratas, atroz pero no olvidemos de que secta estamos hablando, fue el  castigo  por  haber  introducido  un  elemento  que  negaba  la  teoría  pitagórica  de que  todos  los  fenómenos  del  universo  se  podían  reducir  a  números  enteros  y  sus razones.

Hipaso  de  Metaponto (siglo  V  a.  C.).

Los  pitagóricos  por  tanto  fueron  los  descubridores  de  los  irracionales,  pero  nunca aceptaron  tales  números  por  motivos  religiosos.  Este  descubrimiento  planteo  un problema  central  en  la  matemática  griega,  ya  que  rompía  la  identificación  de  número(entero)  y  geometría.   No  cesaron  de  considerar  todo  tipo  de  longitudes,  áreas  y  razones  en  geometría,  pero se  restringieron  a  considerar  razones  numéricas  únicamente  racional  o conmensurable.  La  teoría  de  proporciones  para  razones  inconmensurables  fue desarrollada  posteriormente  por  Eudoxo.

Hay  algunos  otros  resultados  geométricos  atribuidos  a  los  pitagóricos.  El  más  famoso es, el teorema  de  Pitágoras (demostración en entrada anterior), un  teorema  clave  para  la geometría  euclidiana y para muchas otras áreas de conocimiento como por ejemplo la física y la astronomía, curiosamente Pitágoras  es  universalmente  conocido  por  dicho Teorema  (En  un triángulo  rectángulo,  el  cuadrado  de  la  hipotenusa  es  igual  a  la  suma  de  los  cuadrados de  los  catetos)  que,  sin  embargo  ya  era  conocido  varios  siglos  antes  en  China  y aplicado  tanto  en  Egipto  (para  medir  campos)  como  en  Babilonia  (se  conservan  tablillas con  “ternas  pitagóricas”).

Se  cuenta  que  Pitágoras  encontró  una  demostración  propia,  lo cual  le  colmó  de  gozo,  hasta  el  punto  de  mandar  sacrificar  un  buey  a  los  dioses.  Por desgracia,  el  secreto  que  imponía  las  normas  de  la  sociedad ha  hecho  imposible  que  esta demostración  llegue  a  nosotros.

También encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos(es decir 180°), así como la generalización de este resultado a polígonos de n-lados.

Otra es, un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de origen pitagórico(según Diógenes). Así mismo  construían figuras dada un área determinada.

La  conclusión  más  verosímil  acerca  de  la  presencia  de  demostraciones  en  la geometría  pitagórica  es  la  de  que  durante  la  mayor  parte  de  la  vida  de  la  escuela  los miembros  justificaban  sus  resultados  sobre  la  base  de  casos  especiales, análogamente  a  como  se  hacía  en  aritmética.  Sin  embargo,  en  la  época  de  los pitagóricos  tardíos,  es  decir,  hacia  el  400  a.C.,  el  status  de  la  demostración  había cambiado  dando  lugar  a  desarrollos  lógicos; así pues, estos  miembros  tardíos  de  la hermandad  pudieron  haber  dado  ya  demostraciones  rigurosas,  esto  es,  establecidas deductivamente  a  partir  de  un  sistema  explícito  de  axiomas.  Todos  los  anteriores resultados  fueron  posteriormente  recogidos  por  Euclides  en  Los  Elementos.

Referencias:

Jimeno Martínez,C. (S. F.). Pitágoras. Universidad Politécnica de Cartagena. Disponible en: PDFhttps://www.upct.es › seeu › Pitagoras. (Consulta Diciembre, 2018)

Sorando  Muzás, J. M. (s. f.). Los Pitagóricos. Serie Universo Matemático y  otros textos. Disponible en: PDFmatematicasentumundo.es › 1_Pitagoricos. (Consulta Diciembre, 2018)

Universidad de Granada(S.F.). Geometría en Grecia. Disponible en: https://www.ugr.es › ~fjlopez › _private. (Consulta Diciembre, 2018)