Euclides de Alejandría.
Ahora vamos a hablar de Euclides y sus aportes a la matemáticas de los cuales destaca más el campo de la geometría.
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Euclides. |
Es realmente increíble que no se sepa casi nada acerca de la vida de el Gran Euclides de Alejandría, ágil recopilador de conocimiento de su época y un gran interpretador. Sobre su fecha de nacimiento no voy a especular, pero parece ser que fue alrededor de los 300 a. C. Incluso hay autores que afirman que parte de su gran obra “Los Elementos” fue avistada por primera vez en el período clásico Griego, es decir entre el 600 a. C al 300 a. C.
Sobre su muerte según Vasquez, J. E. (s. f.) y registros de la historia, Euclides murió en el año 265 antes de Cristo en Alejandría, ciudad en la que también nació y vivió gran parte de su vida. Según parece ser, era un hombre de raíces, en multiplicidad de sentidos.
En la historia de la geometría, Euclides de Alejandría es el principal representante de esta ciencia. Sus aportes a la humanidad son invaluables y muchos de ellos se mantienen hoy en día como premisas universales. Es por esto que es lo mismo llamar “Geometría Euclidiana” o “Geometría Plana” a aquella que estudia las características y propiedades, así como también las múltiples interrelaciones de los puntos, rectas y planos de una manera lógica y sistemática.
Los Elementos.
Sobre esto, se puede decir que fue la mayor obra de Euclides y un significativo aporte al área de la geometría y a las matemáticas. Esta obra consta de XIII libros, era básicamente un tratado de geometría y de teoría de números el cual presenta la geometría de una manera lógica y organizada, comenzando por algunas suposiciones simples y desarrollando los teoremas mediante el razonamiento deductivo. Este hombre básicamente lo que hizo fue recopilar la gran parte del conocimiento del período clásico, perfeccionando muchos teoremas y presentando demostraciones irrefutables de muchos resultados insuficientemente demostrados por sus predecesores.
A manera de resumen y según Universidad de Granada(S.F.):
El libro I comienza con las definiciones de los conceptos que se utilizarán en la primera parte de la obra, así mismo incluye axiomas y postulados. También contiene los acostumbrados teoremas sobre congruencia, paralelismo, el teorema de Pitágoras, figuras equivalentes (de igual área) y paralelogramos. Todas las figuras son rectilíneas, esto es, formadas por segmentos de recta.
El libro II trata del álgebra geométrica. Los griegos no reconocían la existencia de números irracionales, lo que les dificultaba el tratamiento numérico de longitudes, áreas, ángulos y volúmenes. En este libro todas las cantidades están representadas geométricamente.
El libro III, que contiene 37 proposiciones, comienza con algunas definiciones relativas a la geometría de los círculos, y a continuación estudia las propiedades de cuerdas, tangentes, secantes, ángulos centrales e inscritos, etc.
El libro IV trata en sus 16 proposiciones de figuras tales como triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos regulares, inscritos o circunscritos a círculos.
El libro V, basado en los trabajos de Eudoxo, es el mayor logro de la geometría euclidiana y definitivamente el que ha tenido mayor repercusión. Los pitagóricos poseían una teoría de la proporción, esto es, de la igualdad entre dos razones, para magnitudes conmensurables o racionales, recogida en el libro VII, y que se aplicaba a ciertas proposiciones sobre semejanza de triángulos. Antes de Eudoxo no había una fundamentación rigurosa para el tratamiento de magnitudes inconmensurables. El libro V, aun evitando la introducción de números irracionales, extiende la teoría de las proporciones a razones inconmensurables. La noción de magnitud que presenta Euclides pretende cubrir cantidades o entidades que pueden ser conmensurables o inconmensurables entre sí: longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, pesos, tiempo..., así como las razones entre ellas o proporciones. Pese a la importancia que las definiciones tienen en este libro, no hay en él una definición de magnitud como tal.
El libro VI trata de las figuras semejantes y utiliza la teoría de las proporciones del libro V. Comienza con algunas definiciones. En las demostraciones de los teoremas de este libro, Euclides no se ve obligado a tratar separadamente los casos conmensurable e inconmensurable.
Los libros VII, VIII y IX tratan de aritmética, esto es, de las propiedades de los números enteros y de las razones entre números enteros (racionales). Son los tres únicos libros de los Elementos que tratan de algebra numérica como tal.
El libro X de los Elementos emprende la tarea de clasificar en tipos los irracionales, es decir, las magnitudes inconmensurables con una magnitud dada. Euclides investigó cada posible segmento cuya longitud pueda expresarse (con álgebra moderna) en la forma: √(√a+√b), siendo a y b las longitudes de dos segmentos conmensurables. No todos los irracionales pueden representarse así, por lo que Euclides trata solo los que le surgen en su álgebra geométrica, esto es, en el cálculo de los cuerpos regulares.
El libro XI se dedica esencialmente a los volúmenes o sólidos, aunque todavía aparecerán algunos teoremas de geometría plana.
Hay también definiciones para planos paralelos, figuras sólidas semejantes, ángulo sólido, pirámide, prisma, esfera, cono, cilindro, cubo, octaedro, icosaedro, dodecaedro (regulares). La esfera se define por el giro de un semicírculo en torno al diámetro que lo limita; el cono por el giro de un triángulo rectángulo en torno a uno de los lados del ángulo recto, siendo obtusángulo, rectángulo o acutángulo según que ese lado que permanece fijo en el giro sea menor, igual o mayor que el otro lado del ángulo recto; el cilindro, por el giro de un rectángulo en torno a uno de sus lados. La importancia de estas tres últimas definiciones está en que todos los sólidos considerados, excepto los poliedros regulares, se obtienen a partir del giro de una figura plana en torno a un eje.
Las definiciones son vagas y presuponen teoremas no explicitados, las demostraciones no son completas en algún caso, se hacen para poliedros particulares. Por ejemplo, la Definición 6 da por supuesto que el ángulo no depende del punto de la intersección de los planos elegido. También tiende Euclides a considerar únicamente sólidos convexos, sin especificar esto en su definición de poliedro regular. El libro tan solo habla de figuras limitadas por caras planas. De los 39 teoremas que contiene, los 19 primeros se refieren a propiedades de rectas y planos, por ejemplo, acerca de rectas paralelas y perpendiculares a planos.
El libro XII contiene 18 teoremas sobre áreas y volúmenes, en particular sobre figuras curvilíneas y figuras limitadas por superficies. La idea que en él domina es la del método de enhacino, que proviene de Eudoxo. Por ejemplo, para probar que la razón entre las áreas de dos círculos es como la razón entre los cuadrados de sus diámetros, ese método aproxima ambas áreas con una precisión creciente inscribiendo en ellas polígonos regulares, y como el teorema en cuestión es válido para los polígonos, queda así probado para los círculos. El término “enhacino”, que proviene del hecho de que esos polígonos sucesivamente inscritos van dejando “exhausto”, vacío, el circulo, no fue empleado por los griegos, sino que fue introducido en el siglo XVII. El termino podría sugerir que se trata de un método aproximado, que constituye solo una etapa hacia el concepto riguroso que se obtendría como límite. Se trata sin embargo, como se va a ver, de un método riguroso en si mismo, que no requiere un proceso explícito de paso al límite. Su validez reside en el método indirecto de prueba, que evita el empleo de límites. De hecho, el trabajo de Euclides sobre áreas y volúmenes es más perfecto que el de Newton y Leibniz, quienes intentaron basarse en el álgebra y el sistema numérico, recurriendo a un concepto embrionario de límite.
El libro XIII estudia propiedades de los polígonos regulares como tales e inscritos en círculos, y el problema de cómo inscribir los cinco poliedros regulares(sólidos platónicos) en una esfera. Euclides siempre supone que los sólidos regulares son convexos. Prueba también que no existen más que esos cinco tipos de sólidos regulares (poliedros convexos). Este último resultado es un corolario a la proposición 18, que clausura el libro. La prueba de que no pueden existir más que cinco tipos de sólidos regulares depende de un teorema previo, la proposición 21 del libro XI, que establece que “las caras de un ángulo sólido deben sumar menos de 360º”. Así, si se juntan triángulos equiláteros, se puede hacer que concurran tres en cada vértice del sólido regular para formar un tetraedro, cuatro para formar un octaedro o cinco para formar un icosaedro. Con seis triángulos equiláteros en un vértice se obtendría una suma de 360º, lo que descarta esa posibilidad. Se pueden juntar tres cuadrados en cada vértice para obtener un cubo y tres pentágonos en cada vértice para formar un dodecaedro. No puede usarse ningún otro polígono regular, porque al unir tres en un punto se formaría un ángulo de 360º o más.
Los trece libros de los Elementos contienen 467 proposiciones. En algunas ediciones antiguas se incluían dos libros más, que contenían otros resultados sobre sólidos regulares, aunque el libro XV es poco claro e impreciso. Ambos son, sin embargo, posteriores a Euclides. El libro XIV se debe a Hypsides (c.150 a.C.) y parte del libro XV se escribió probablemente mucho más tarde, en torno al siglo VI d. C.
Euclides escribió otras obras de matemáticas y física, muchas de ella importantes para la historia de las matemáticas. Entre ellas cabe destacar las obras de física más importantes, la Óptica y la Catóptrica.
Aparte de esta Gran obra llamada “Los Elementos” se pueden destacar las cinco nociones básicas y los cinco postulados que nos deja el buen Euclides, los cuales son:
Nociones básicas: De las cuales se puede decir que son generalmente validas para toda la matemática y las ciencias.
- Cosas que sean iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
- Si a cosas iguales se suman cosas iguales, los totales son iguales.
- Si a cosas iguales se restan cosas iguales, los restos son iguales.
- Cosas que encajen cada una en la otra son iguales entre si.
- El todo es mayor que las partes.
Esto evidencia, una vez más, lo grande que era el genio de Euclides, recordemos que para entonces no se había desarrollado el álgebra. Estas nociones básicas, Por ejemplo la número 1 refleja claramente y/o interpretativamente la propiedad reflexiva de la igualdad, esto es:
si a + b = c y d + e = c
Entonces
c = c
y
a + b = d + e
Postulados de Euclides: Pilares de la geometría de los cuales se puede decir que son verdades tan evidentes y absolutas que no necesitan ser demostradas.
- Dados dos puntos distintos cualesquiera, se puede trazar una única recta.
- Un segmento de recta puede ser construido en cualquier dirección a lo largo de una línea recta.
Este segundo nos garantiza la existencia de los segmentos y se puede decir que nos da cierta noción sobre su tamaño(pueden ser de cualquier tamaño o magnitud, recordemos que las rectas son, intuitivamente un conjunto de puntos colineales e infinitos).
- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.
El tercero al ser la circunferencia un conjunto que no esta contenido en ninguna linea recta, sino más bien en una linea curva, nos garantiza la existencia de la misma. Ya con estos tres postulados es posible construir figuras geométricas planas como por ejemplo los triángulos(con regla y compás).
- Todos los ángulos rectos son iguales.
El cuarto parece ser una noción común de ángulo recto, según mi juicio este postulado debió ser utilizado para asumir que cuando una recta se interseca con otra y forman un ángulo recto, todos los ángulos restantes son iguales o congruentes a este, y por lo tanto, también son rectos. Tomando en cuenta que el teorema de que “ángulos opuestos por el vértice son congruentes” ya había sido introducido por Tales de una manera empírica(ya que, es casi seguro que no fue demostrado rigurosamente por el mismo Tales) este cuarto postulado de Euclides debió ser utilizado para asumir que todos los ángulos rectos son iguales(incluso si estos fueran a puestos por el vértice) esto se evidencia que cuando se demuestra que un ángulo mide 90° se obvia demostrar que los restantes cuatro miden también 90° porque se sobreentiende. Por supuesto que esto es una hipótesis que se me ocurrió, así que mi buen amigo lector no tomes nota de esto!!! véase la siguiente imagen. (Sin olvidar que la definición de ángulo recto es aquel cuya medida es de 90°)
- Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.
Es importante destacar que este, y los anteriores postulados están enunciados de forma modernizada, es decir que hemos parafraseado a Euclides, ya que son más de 2000 años y la matemática ha cambiado significativamente, pero esta es la forma más actual de este axioma que al parecer no convencía al mismo Euclides según Fernández, L. y Fuentes, C.(s.f.). Se puede decir que fue el único que no era tan evidentemente verdadero y, al intentar demostrarle por el método indirecto se descubre las “Geometrías No-Euclidianas”
A pesar de este evento, Euclides fue, es y seguirá siendo un gran pensador y un genio, ya que su obra “Los Elementos” fue el libro más leído y estudiado(incluso más que la Biblia según afirman muchos autores) debido a que este presentaba la geometría de una manera lógica y sistemática. Este adoctrinamiento sigue estando presente(con algunas modificaciones) en el estudio y enseñanza de la geometría en todo el mundo y en la actualidad.
Referencias:
Fernández, L. y Fuentes, C.(s.f.). Euclides. Disponible en: https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/euclides/euclid.htm. (consulta Marzo, 2019).
Universidad de Granada(S.F.). Geometría en Grecia. Disponible en: https://www.ugr.es › ~fjlopez › _private. (Consulta Diciembre, 2018).
Vasquez, J. E. (s. f.). Euclides: Biografía, Aportes y Obra. Disponible en: https://www.lifeder.com/aportaciones-de-euclides/. (Consulta Marzo, 2019).
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