El gran interprete y recopilador de conocimientos de la antigüedad.

Euclides de Alejandría.

Ahora vamos a hablar de Euclides y sus aportes a la matemáticas de los cuales destaca más el campo de la geometría.

Euclides.

Es realmente increíble que no se sepa casi nada acerca de la vida de el Gran Euclides de Alejandría, ágil recopilador de conocimiento de su época y un gran interpretador. Sobre su fecha de nacimiento no voy a especular, pero parece ser que fue alrededor de los 300 a. C. Incluso hay autores que afirman que parte de su gran obra “Los Elementos” fue avistada por primera vez en el período clásico Griego, es decir entre el 600 a. C al 300 a. C.

Sobre su muerte según Vasquez, J. E. (s. f.) y registros de la historia, Euclides murió en el año 265 antes de Cristo en Alejandría, ciudad en la que también nació y vivió gran parte de su vida. Según parece ser, era un hombre de raíces, en multiplicidad de sentidos.

En la historia de la geometría, Euclides de Alejandría es el principal representante de esta ciencia. Sus aportes a la humanidad son invaluables y muchos de ellos se mantienen hoy en día como premisas universales. Es por esto que es lo mismo llamar “Geometría Euclidiana” o “Geometría Plana” a aquella que estudia las características y propiedades, así como también las múltiples interrelaciones de los puntos, rectas y planos de una manera lógica y sistemática.

Los Elementos.

Sobre esto, se puede decir que  fue la mayor obra de Euclides y un significativo aporte al área de la geometría y a las matemáticas. Esta obra consta de XIII libros, era básicamente un tratado de geometría y de teoría de números el cual presenta la geometría de una manera lógica y organizada, comenzando por algunas suposiciones simples y desarrollando los teoremas mediante el razonamiento deductivo. Este hombre básicamente lo que hizo fue recopilar la gran parte del conocimiento del período clásico, perfeccionando muchos teoremas y presentando demostraciones  irrefutables de  muchos  resultados  insuficientemente  demostrados  por  sus  predecesores.

A manera de resumen y según Universidad de Granada(S.F.):

El  libro  I  comienza  con  las  definiciones  de  los conceptos  que  se  utilizarán  en  la  primera  parte  de  la  obra,  así  mismo  incluye  axiomas y  postulados. También contiene  los  acostumbrados  teoremas  sobre  congruencia,  paralelismo,  el teorema  de  Pitágoras, figuras  equivalentes  (de  igual  área)  y  paralelogramos.  Todas  las figuras  son  rectilíneas, esto  es, formadas  por  segmentos  de  recta.

El  libro  II  trata  del  álgebra  geométrica. Los  griegos  no  reconocían  la  existencia  de números  irracionales,  lo  que  les  dificultaba  el  tratamiento  numérico  de  longitudes, áreas,  ángulos  y  volúmenes.  En  este  libro todas  las  cantidades  están  representadas geométricamente.

El  libro  III,  que  contiene  37  proposiciones,  comienza  con  algunas  definiciones relativas  a  la  geometría  de  los  círculos,  y  a  continuación  estudia  las  propiedades  de cuerdas,    tangentes,  secantes,  ángulos  centrales  e  inscritos,  etc.

El  libro  IV  trata  en  sus  16  proposiciones  de  figuras  tales  como  triángulos, cuadrados, pentágonos  y  hexágonos  regulares,  inscritos  o  circunscritos  a  círculos.

El  libro  V,  basado  en  los  trabajos  de  Eudoxo,    es  el  mayor  logro  de  la  geometría   euclidiana  y  definitivamente  el  que  ha  tenido  mayor  repercusión.  Los  pitagóricos poseían  una  teoría  de  la  proporción,  esto  es,  de  la  igualdad  entre  dos  razones,  para magnitudes  conmensurables  o  racionales,  recogida    en  el  libro  VII,  y  que  se  aplicaba  a ciertas  proposiciones  sobre  semejanza  de  triángulos.   Antes  de  Eudoxo  no  había  una  fundamentación  rigurosa  para  el  tratamiento  de magnitudes  inconmensurables.  El  libro  V,  aun  evitando  la  introducción  de  números irracionales,  extiende  la  teoría  de  las  proporciones  a  razones  inconmensurables. La  noción  de  magnitud  que  presenta  Euclides  pretende  cubrir  cantidades  o  entidades que  pueden  ser  conmensurables  o  inconmensurables  entre  sí:  longitudes,  áreas, volúmenes,  ángulos,  pesos,  tiempo...,  así  como  las  razones  entre  ellas  o  proporciones. Pese  a  la  importancia  que  las  definiciones  tienen  en  este  libro,  no  hay  en  él  una definición  de  magnitud  como  tal.

El  libro  VI  trata  de  las  figuras  semejantes  y  utiliza  la  teoría  de  las  proporciones  del  libro V.  Comienza  con  algunas  definiciones. En  las  demostraciones  de  los  teoremas  de  este  libro,  Euclides  no  se  ve  obligado  a tratar  separadamente  los  casos  conmensurable  e  inconmensurable.

Los  libros  VII,  VIII  y  IX  tratan  de  aritmética,  esto  es,  de  las  propiedades  de  los  números enteros  y  de  las  razones  entre  números  enteros  (racionales).  Son  los  tres  únicos  libros de  los  Elementos  que  tratan  de  algebra  numérica  como  tal.

El  libro  X  de  los  Elementos  emprende  la  tarea  de  clasificar  en  tipos  los  irracionales,  es decir,  las  magnitudes  inconmensurables  con  una  magnitud  dada.  Euclides  investigó   cada  posible  segmento  cuya  longitud  pueda  expresarse  (con  álgebra  moderna)  en  la forma:   √(√a+√b), siendo  a  y  b  las  longitudes  de  dos  segmentos  conmensurables.  No  todos  los irracionales  pueden  representarse  así,  por  lo  que  Euclides  trata  solo  los  que  le  surgen en  su  álgebra  geométrica,  esto  es,  en  el  cálculo  de  los  cuerpos  regulares.

El  libro  XI  se  dedica  esencialmente  a  los  volúmenes  o  sólidos,  aunque  todavía aparecerán  algunos  teoremas  de  geometría  plana.

Hay  también  definiciones  para  planos  paralelos,  figuras  sólidas  semejantes,  ángulo sólido,  pirámide,  prisma,  esfera,  cono,  cilindro,  cubo,  octaedro,  icosaedro,  dodecaedro (regulares).  La  esfera  se  define  por  el  giro  de  un  semicírculo  en  torno  al  diámetro  que lo  limita;  el  cono  por  el  giro  de  un  triángulo  rectángulo  en  torno  a  uno  de  los  lados  del ángulo  recto,  siendo  obtusángulo,  rectángulo  o  acutángulo  según  que  ese  lado  que permanece  fijo  en  el  giro  sea  menor,  igual  o  mayor  que  el  otro  lado  del  ángulo  recto;  el cilindro, por  el  giro  de  un  rectángulo  en  torno  a  uno  de  sus  lados. La  importancia  de estas  tres  últimas  definiciones  está  en  que  todos  los  sólidos  considerados,  excepto  los poliedros  regulares,  se  obtienen  a  partir  del  giro  de  una  figura  plana  en  torno  a  un  eje.

Las  definiciones  son  vagas  y  presuponen  teoremas  no  explicitados,  las demostraciones  no  son  completas  en  algún  caso,  se  hacen  para  poliedros  particulares. Por  ejemplo,  la  Definición  6  da  por  supuesto  que  el  ángulo  no  depende  del  punto  de  la intersección  de  los  planos  elegido.  También  tiende  Euclides  a    considerar  únicamente sólidos  convexos, sin  especificar  esto  en  su  definición  de  poliedro  regular. El  libro  tan solo  habla  de  figuras  limitadas  por  caras  planas.  De  los  39  teoremas  que  contiene,  los 19  primeros  se  refieren  a  propiedades  de  rectas  y  planos,  por  ejemplo,  acerca  de rectas  paralelas  y  perpendiculares  a  planos.

El  libro  XII  contiene  18  teoremas  sobre  áreas  y  volúmenes,  en  particular  sobre  figuras curvilíneas  y  figuras  limitadas  por  superficies.  La  idea  que  en  él  domina  es  la  del método  de  enhacino, que  proviene  de  Eudoxo. Por  ejemplo, para  probar  que  la  razón entre  las  áreas  de  dos  círculos  es  como  la  razón  entre  los  cuadrados  de  sus diámetros,  ese  método  aproxima  ambas  áreas  con  una  precisión  creciente inscribiendo  en  ellas  polígonos  regulares,  y  como  el  teorema  en  cuestión  es  válido para  los  polígonos,  queda  así  probado  para  los  círculos.  El  término  “enhacino”,  que proviene  del  hecho  de  que  esos  polígonos  sucesivamente  inscritos  van  dejando “exhausto”,  vacío,  el  circulo,  no  fue  empleado  por  los  griegos,  sino  que  fue  introducido en  el  siglo  XVII.  El  termino  podría  sugerir  que  se  trata  de  un  método  aproximado,  que constituye  solo  una  etapa  hacia  el  concepto  riguroso  que  se  obtendría  como  límite.  Se trata  sin  embargo, como  se  va  a  ver, de  un  método  riguroso  en  si  mismo,  que  no requiere  un  proceso  explícito  de  paso  al  límite.  Su  validez  reside  en  el  método indirecto  de  prueba,  que  evita  el  empleo  de  límites.  De  hecho,  el  trabajo  de  Euclides sobre  áreas  y  volúmenes  es  más  perfecto  que  el  de  Newton  y  Leibniz,  quienes intentaron  basarse  en  el  álgebra  y  el  sistema  numérico,  recurriendo  a  un  concepto embrionario  de  límite.

El  libro  XIII  estudia  propiedades  de  los  polígonos  regulares  como  tales  e  inscritos  en círculos,  y  el  problema  de  cómo  inscribir  los  cinco  poliedros  regulares(sólidos platónicos)    en  una  esfera.  Euclides  siempre  supone  que  los  sólidos  regulares  son convexos.    Prueba  también  que  no  existen  más  que  esos  cinco  tipos  de  sólidos regulares  (poliedros  convexos).  Este  último  resultado  es  un  corolario  a  la  proposición 18,  que  clausura  el  libro. La  prueba  de  que  no  pueden  existir  más  que  cinco  tipos  de  sólidos  regulares  depende de  un  teorema  previo,  la  proposición  21  del  libro  XI,  que  establece  que  “las  caras  de un  ángulo  sólido  deben  sumar  menos  de  360º”.   Así,  si  se  juntan  triángulos  equiláteros, se  puede  hacer  que  concurran  tres  en  cada vértice  del  sólido  regular  para  formar  un  tetraedro, cuatro  para  formar  un  octaedro  o cinco  para  formar  un  icosaedro. Con  seis  triángulos  equiláteros  en  un  vértice  se obtendría  una  suma  de  360º,  lo  que  descarta  esa  posibilidad.   Se  pueden  juntar  tres  cuadrados  en  cada  vértice  para  obtener  un  cubo  y  tres pentágonos  en  cada  vértice  para  formar  un  dodecaedro. No  puede  usarse  ningún  otro polígono  regular,  porque  al  unir  tres  en  un  punto  se  formaría  un  ángulo  de  360º  o  más.

Los  trece  libros  de  los  Elementos  contienen  467  proposiciones.  En  algunas  ediciones antiguas  se  incluían  dos  libros  más,  que  contenían  otros  resultados  sobre  sólidos regulares,  aunque  el  libro  XV  es  poco  claro  e  impreciso.  Ambos  son,  sin  embargo, posteriores  a  Euclides.  El  libro  XIV  se  debe  a  Hypsides  (c.150  a.C.)  y  parte  del  libro  XV se  escribió  probablemente  mucho  más  tarde,  en  torno  al  siglo  VI  d.  C.

Euclides  escribió  otras  obras  de  matemáticas  y  física,  muchas  de  ella  importantes  para la  historia  de  las  matemáticas.  Entre  ellas  cabe  destacar  las  obras  de  física  más importantes,  la  Óptica  y  la  Catóptrica.

Aparte de esta Gran obra llamada “Los Elementos” se pueden destacar las cinco nociones básicas y los cinco postulados que nos deja el buen Euclides, los cuales son:

Nociones básicas: De las cuales se puede decir que son generalmente validas para toda la matemática y las ciencias.

1. Cosas  que  sean  iguales  a  una  misma  cosa  son  también  iguales  entre  sí.
2. Si  a  cosas  iguales  se  suman  cosas  iguales,  los  totales  son  iguales.
3. Si  a  cosas  iguales  se  restan  cosas  iguales,  los  restos  son  iguales.
4. Cosas  que  encajen  cada  una  en  la  otra  son  iguales  entre  si.
5. El todo es mayor que las partes.

Esto evidencia, una vez más, lo grande que era el genio de Euclides, recordemos que para entonces no se había desarrollado el álgebra. Estas nociones básicas, Por ejemplo la número 1 refleja claramente y/o interpretativamente la propiedad reflexiva de la igualdad, esto es:

si a + b = c  y  d + e = c

Entonces

c = c

y

a + b = d + e

Postulados de Euclides: Pilares de la geometría de los cuales se puede decir que son verdades tan evidentes y absolutas que no necesitan ser demostradas.

1. Dados dos puntos distintos cualesquiera, se puede trazar una única recta.

Este primer postulado de Euclides nos garantiza la existencia de nuestra geometría, ya que al poder unir dos puntos cualesquiera es posible dar origen a otros conjuntos como los segmentos.

2. Un segmento de recta puede ser construido en cualquier dirección a lo largo de una línea recta.

Este segundo nos garantiza la existencia de los segmentos y se puede decir que nos da cierta noción sobre su tamaño(pueden ser de cualquier tamaño o magnitud, recordemos que las rectas son, intuitivamente un conjunto de puntos colineales e infinitos).

3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

El tercero al ser la circunferencia un conjunto que no esta contenido en ninguna linea recta, sino más bien en una linea curva, nos garantiza la existencia de la misma. Ya con estos tres postulados es posible construir figuras geométricas planas como por ejemplo los triángulos(con regla y compás).

4. Todos  los  ángulos  rectos  son  iguales.

El cuarto parece ser una noción común de ángulo recto, según mi juicio este postulado debió ser utilizado para asumir que cuando una recta se interseca con otra y forman un ángulo recto, todos los ángulos restantes son iguales o congruentes a este, y por lo tanto, también son rectos. Tomando en cuenta que el teorema de que “ángulos opuestos por el vértice son congruentes” ya había sido introducido por Tales de una manera empírica(ya que, es casi seguro que no fue demostrado rigurosamente por el mismo Tales) este cuarto postulado de Euclides debió ser utilizado para asumir que todos los ángulos rectos son iguales(incluso si estos fueran a puestos por el vértice) esto se evidencia que cuando se demuestra que un ángulo mide 90° se obvia demostrar que los restantes cuatro miden también 90° porque se sobreentiende. Por supuesto que esto es una hipótesis que se me ocurrió, así que mi buen amigo lector no tomes nota de esto!!! véase la siguiente imagen. (Sin olvidar que la definición de ángulo recto es aquel cuya medida es de 90°)

5. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Es importante destacar que este, y los anteriores postulados están enunciados de forma modernizada, es decir que hemos parafraseado a Euclides, ya que son más de 2000 años y la matemática ha cambiado significativamente, pero esta es la forma más actual de este axioma que al parecer no convencía al mismo Euclides según Fernández, L. y Fuentes, C.(s.f.). Se puede decir que fue el único que no era tan evidentemente verdadero y, al intentar demostrarle por el método indirecto se descubre las “Geometrías No-Euclidianas”

A pesar de este evento, Euclides fue, es y seguirá siendo un  gran pensador y un genio, ya que su obra “Los Elementos” fue el libro más leído y estudiado(incluso más que la Biblia según afirman muchos autores) debido a que este presentaba la geometría de una manera lógica y sistemática. Este adoctrinamiento sigue estando presente(con algunas modificaciones) en el estudio y enseñanza de la geometría en todo el mundo y en la actualidad.

Referencias:

Fernández, L. y Fuentes, C.(s.f.). Euclides. Disponible en: https://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/euclides/euclid.htm. (consulta Marzo, 2019).

Universidad de Granada(S.F.). Geometría en Grecia. Disponible en: https://www.ugr.es › ~fjlopez › _private. (Consulta Diciembre, 2018).

Vasquez, J. E. (s. f.). Euclides: Biografía, Aportes y Obra. Disponible en: https://www.lifeder.com/aportaciones-de-euclides/. (Consulta Marzo, 2019).

Pitágoras y los Pitagóricos.

Pitágoras de Samos. (585  a.C. hasta el 497  a.C. aproximadamente)

La  figura  de  Pitágoras,  nacido  en  la  isla  griega  de  Samos alrededor del  585  a.C. ,  está  envuelta  en  un  halo  de leyenda  y  misterio  casi  de  tipo  religioso. Viajó  por  Egipto  y  Babilonia, impregnándose  de  conocimientos  matemáticos,  astronómicos  y  filosóficos.  Tras  ese viaje  retornó  al  mundo  griego,  instalándose  en  Crotona,  al  sur  de  Italia.

Antigua Crecía.

Desde niño aprendió a tocar la lira y estudió poesía griega de su época. Entre los 18 y 20 años, viajó a la ciudad de Mileto y visitó a Tales, si bien ya Tales era un venerable anciano que despertó en Pitágoras el amor por las Matemáticas y la astronomía y fue sin duda quien le indico a viajar a Egipto para aprender más sobre estos temas. Anaximandro, pupilo de Tales, impartía las enseñanzas de este, lecturas a las cuales asistió Pitágoras, y muchas de sus ideas de geometría y cosmología influyeron en su propia visión.  Jimeno Martínez, C. (S. F.) afirma que “fue en Egipto, donde desarrollo el pensamiento místico, y también consolidó su formación en aritmética, geometría, astronomía y música”.(pag.1)

Tales de Mileto.

En el 522 a. C. Cambyses II rey de Persia invadió Egipto. Pólícrates rompió sus alianzas con Egipto y apoyo a los persas, Pitágoras fue hecho prisionero y llevado a Babilonia. Los babilonios reconocieron en Pitágoras al gran sabio griego, y en vez de estar en una cárcel, dejaron que en su casa tuviera una academia y en lugar de trabajos forzados le autorizaron el estudio de las matemáticas y la astronomía. No esta claro como obtiene su libertad pero muy probablemente fue a causa de la muerte de Cambyses y Pólicrates en el 522 a.C. y regresa a Samos. Las razones porque emigró al sur de Italia y eligió la ciudad Crotona, son fuente de especulación, supuestamente debido al poco éxito de sus enseñanzas en su ciudad natal y también que le exigían que participase en asuntos públicos y políticos.

Los Pitagóricos.

Fue en Crotana donde  funda  la  sociedad  secreta  de  los  Pitagóricos  que  alcanzó  más  de  300  adeptos aunque esto no se sabe con certeza debido a que hay autores que afirma que fueron más de 600. Tenían  el  rigor  y  el  ascetismo  como  normas  morales  y  de  conducta.  Lo  compartían  todo: los  bienes  materiales  y  los  conocimientos,  entre  ellos,  “los  matemáticos” así se hacían llamar.  Una  norma sagrada  era  el  secreto  hacia  el  exterior;  la  divulgación  de  su  sabiduría  le  pudo  costar  la vida  a  alguno  de  sus  miembros.  Su  símbolo  era  el  Pentagrama  o  estrella  de  5  puntas.

Pentagrama.

Participaron  en  la  política  de  su  cuidad  aliándose  con  la  facción aristocrática  y  terminaron  siendo  expulsados  violentamente.  Pitágoras  huyo  a  la cercana  Metaponto  y  allí  murió,  al  parecer  asesinado,  hacia  el  497  a.C.  Sus seguidores  se  esparcieron  por  otras  ciudades  griegas  y  continuaron  sus  enseñanzas.

Según La Universidad de Granada (S.F.). Poco  se sabe  de  la  vida  personal  de  Pitágoras  y  de  sus  seguidores, ni  se  puede  tener  la seguridad  de  qué  hay  que  atribuirle  a  él  o  a  sus  discípulos.  Por  lo  tanto,  cuando  se habla  de  la  obra  de  los  pitagóricos  hay  que  tener  en  cuenta  que  en  realidad  nos estamos  refiriendo  a  la  obra  del  grupo  entre  el  585  a.C., presunta  fecha  de  su nacimiento,  hasta  aproximadamente  el  400  a.C.

Una  de  las  grandes  contribuciones  de  los  pitagóricos  a  la  matemática  fue  el reconocimiento  consciente  de  que  los  objetos  matemáticos,  números  y  figuras geométricas,  son  abstracciones  o  ideas  producidas  por  la  mente  y  claramente  distintas de  los  objetos  o  imágenes  físicas. Tengamos  en  cuenta  que  los  conceptos geométricos  de  todas  las  civilizaciones  precedencias  estaban  decididamente  ligados  a la  materia  y  tenían  base  empírica. Los  primeros  pitagóricos  decían  que  todos  los objetos  estaban  compuestos  por  números  (siempre  enteros)  o  que  los  números  eran  la esencia  del  universo  en  sentido  literal,  porque  los  números  eran  para  ellos  como  los átomos  para  nosotros.  Se  supone  incluso  que  los  pitagóricos  de  los  siglos  VI  y  V  a.  C. no  distinguían  realmente  los  números  de  los  puntos  geométricos,  entendidos,   naturalmente,  como  puntos  extensos  o  esferas  minúsculas.  Eudemo  afirmó  que Pitágoras  fue  el  verdadero  creador  de  la  matemática  pura,  a  la  que  convirtió  en  un  arte liberal.

Los  pitagóricos  solían  representar  los  números  mediante  puntos  en  la  arena  o piedrecillas,  clasificándolos  según  las  formas  de  estas  distribuciones  de  piedras  o  de puntos.  Así,  los  números  1,  3,  6,  10,  etc.,  recibían  el  nombre  de  triangulares  porque los  puntos  correspondientes  podían  distribuirse  en  forma  de  triángulo  equilátero.  El cuarto  número  triangular,  el  10,  ejerció  una  fascinación  especial  sobre  los  pitagóricos, siendo  para  ellos  una  especie  de  numero  sagrado,  que  tiene  cuatro  puntos  en  cada lado;  el  4  era  otro  de  sus  números  favoritos.

Los  pitagóricos,  comprobaron  que  las  sumas  1,  1+2,  1+2+3,  y  así  sucesivamente, daban  lugar  a  los  números  triangulares  y  que  1+2+...+  n  =  n  (n+1)  /  2.  Los  números  1, 4,  9,  16,  etc,  recibieron  el  nombre  de  números  cuadrados  debido  a  que  sus  puntos   pueden  distribuirse  formando  cuadrados.  Los  números  compuestos  (o  no  primos)  que no  eran  cuadrados  perfectos  recibían  el  nombre  de  oblongos.

A  partir  de  las  distribuciones  geométricas  de  los  puntos  aparecían  como  evidentes ciertas  propiedades  de  los  números  enteros;  por  ejemplo,  trazando  la  recta  del  tercer número  cuadrado  se  descubre  que  la  suma  de  los  dos  números  triangulares consecutivos  es  un  número  cuadrado.  Esto  es  verdad  en  general,  como  se  puede  ver en  la  notación  moderna:  n(n+1)/2  +  (n+1)(n+2)/2  =  (n+1)²

Se  llamó  número  perfecto  a  todo  aquel  que  es  igual  a  la  suma  de  sus  divisores, incluido  el  1,  pero  no  el  propio  número. A  los  que  excedían  a la  suma  de  sus  divisores  se  les  llamo  excesivos,  y  al  los  que  eran  menores  de  dicha suma,  defectivos.  A  dos  números  se  los  llamo  amigos  cuando  cada  uno  de  ellos  era igual  a  la  suma  de  los  divisores  del  otro.

Véase los siguientes ejemplos:

Los  pitagóricos  descubrieron  una  regla  para  construir  ternas  de  números  enteros  que pudieran  ser  lados  de  un  triángulo  rectángulo.  Así, descubrieron  que  si  m  es  impar,  entonces  m,  (m²+1)/2  y  (m²-1)/2 constituyen  una  de  esas  ternas.  Sin  embargo  esta  regla  solamente  da  alguna  de  ellas. Cualquier  terna  de  números  enteros  que  represente  los  lados  de  un  triángulo rectángulo  recibe  el  nombre  de  terna  pitagórica.

Para  los  pitagóricos,  los  números  eran  únicamente  los  números  enteros,  una  razón entre  dos  números  enteros  no  era  una  fracción  y,  por  lo  tanto,  otro  tipo  de  número como  en  la  época  moderna.  Interpretaban  por  ejemplo  ¼  como  una  unidad “entera”  que  sumada  cuatro  veces  generaba  una  unidad  mayor.  Tenían  una  visión mística  de  los  números  enteros,  de  los  que  pensaban  era  la  base  sobre  la  que  se sustentaba  el  universo,  todo  estaba  sometido  a  un  orden  por  lo  que  cualquier  razón debía  ser  racional.  Los  pitagóricos  se  vieron  desagradablemente  sorprendidos  por  el descubrimiento  de  que  algunas  razones, como  La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros. Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales o razones  inconmensurables.

El descubrimiento  de  las  razones  inconmensurables  se  atribuye  a  Hipaso  de  Metaponto (siglo  V  a.  C.).  Cuenta  la  leyenda  que  los  pitagóricos  se  encontraban  navegando  en  el mar  en  aquella  época,  y  que  tras  ese  descubrimento  lanzaron  a  Hipaso  por  la  borda, un poco al estilo de los piratas, atroz pero no olvidemos de que secta estamos hablando, fue el  castigo  por  haber  introducido  un  elemento  que  negaba  la  teoría  pitagórica  de que  todos  los  fenómenos  del  universo  se  podían  reducir  a  números  enteros  y  sus razones.

Hipaso  de  Metaponto (siglo  V  a.  C.).

Los  pitagóricos  por  tanto  fueron  los  descubridores  de  los  irracionales,  pero  nunca aceptaron  tales  números  por  motivos  religiosos.  Este  descubrimiento  planteo  un problema  central  en  la  matemática  griega,  ya  que  rompía  la  identificación  de  número(entero)  y  geometría.   No  cesaron  de  considerar  todo  tipo  de  longitudes,  áreas  y  razones  en  geometría,  pero se  restringieron  a  considerar  razones  numéricas  únicamente  racional  o conmensurable.  La  teoría  de  proporciones  para  razones  inconmensurables  fue desarrollada  posteriormente  por  Eudoxo.

Hay  algunos  otros  resultados  geométricos  atribuidos  a  los  pitagóricos.  El  más  famoso es, el teorema  de  Pitágoras (demostración en entrada anterior), un  teorema  clave  para  la geometría  euclidiana y para muchas otras áreas de conocimiento como por ejemplo la física y la astronomía, curiosamente Pitágoras  es  universalmente  conocido  por  dicho Teorema  (En  un triángulo  rectángulo,  el  cuadrado  de  la  hipotenusa  es  igual  a  la  suma  de  los  cuadrados de  los  catetos)  que,  sin  embargo  ya  era  conocido  varios  siglos  antes  en  China  y aplicado  tanto  en  Egipto  (para  medir  campos)  como  en  Babilonia  (se  conservan  tablillas con  “ternas  pitagóricas”).

Se  cuenta  que  Pitágoras  encontró  una  demostración  propia,  lo cual  le  colmó  de  gozo,  hasta  el  punto  de  mandar  sacrificar  un  buey  a  los  dioses.  Por desgracia,  el  secreto  que  imponía  las  normas  de  la  sociedad ha  hecho  imposible  que  esta demostración  llegue  a  nosotros.

También encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos(es decir 180°), así como la generalización de este resultado a polígonos de n-lados.

Otra es, un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de origen pitagórico(según Diógenes). Así mismo  construían figuras dada un área determinada.

La  conclusión  más  verosímil  acerca  de  la  presencia  de  demostraciones  en  la geometría  pitagórica  es  la  de  que  durante  la  mayor  parte  de  la  vida  de  la  escuela  los miembros  justificaban  sus  resultados  sobre  la  base  de  casos  especiales, análogamente  a  como  se  hacía  en  aritmética.  Sin  embargo,  en  la  época  de  los pitagóricos  tardíos,  es  decir,  hacia  el  400  a.C.,  el  status  de  la  demostración  había cambiado  dando  lugar  a  desarrollos  lógicos; así pues, estos  miembros  tardíos  de  la hermandad  pudieron  haber  dado  ya  demostraciones  rigurosas,  esto  es,  establecidas deductivamente  a  partir  de  un  sistema  explícito  de  axiomas.  Todos  los  anteriores resultados  fueron  posteriormente  recogidos  por  Euclides  en  Los  Elementos.

Referencias:

Jimeno Martínez,C. (S. F.). Pitágoras. Universidad Politécnica de Cartagena. Disponible en: PDFhttps://www.upct.es › seeu › Pitagoras. (Consulta Diciembre, 2018)

Sorando  Muzás, J. M. (s. f.). Los Pitagóricos. Serie Universo Matemático y  otros textos. Disponible en: PDFmatematicasentumundo.es › 1_Pitagoricos. (Consulta Diciembre, 2018)

Universidad de Granada(S.F.). Geometría en Grecia. Disponible en: https://www.ugr.es › ~fjlopez › _private. (Consulta Diciembre, 2018)