La geometría en Grecia.

Una breve introducción.

Como ya se puede apreciar, esté block se titula “Historia de la matemática” ya que anteriormente en otras entradas habíamos hecho énfasis en la vida, obra y aportes a la matemática por parte de Hiparco de Nicea, hoy vamos a hablar de la geometría en Grecia siendo entonces necesario prestar especial atención a estos tres grandes sabios los cuales son:

1 -Tales de Mileto(hacia 624-548 a.C.)

2 - Pitágoras de Samos(alrededor de 580-500 a.C.)

3 - Euclides de Alejandría(hacia los 300 años a.C.)

Existe unanimidad al afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos VII y VI a.C.. No existen fuentes primarias ya que los acontecimientos sólo fueron registrados mucho  tiempo después de que hubieran sucedido. En este sentido, es casi  seguro que las anécdotas e historias referentes por lo menos a estos tres grandes sabios griegos son en gran parte leyenda. De lo que no hay duda es de que parte del saber matemático comúnmente atribuido a los primeros griegos era ya conocido por los egipcios y los babilonios muchos siglos antes. Sin embargo, los griegos, que se asentaron de extremo a extremo en toda la región mediterránea, desempeñaron un papel fundamental en la conservación, enriquecimiento y difusión de ese conocimiento.

Lo peculiar de la geometría en Grecia es que una de sus primeras y principales aportaciones fue el utilizar el poder de abstracción, esto es, abandonar el empirismo de babilonios y egipcios para adoptar el deduccionismo lógico. Así, la recta había dejado de ser una cuerda tensa y un rectángulo no era ya el contorno de una parcela. Parece totalmente seguro que fueron los filósofos griegos los primeros en darse cuenta de que un enunciado  matemático debía de ser demostrado mediante deducción lógica a partir de ciertos hechos fundamentales llamados axiomas. Esto según un artículo de la Universidad de Granada(s.f.)

En este mismo orden de ideas los griegos son los responsables de validar el conocimiento matemático mediante las demostraciones lógicas, ya que hasta entonces, las demostraciones matemáticas se habían realizado a partir de la experimentación. El hecho de haber comprendido que una proposición matemática no quedaba demostrada exhibiendo un número suficientemente grande de casos en los que se verificaba, supuso un progreso de la máxima trascendencia para la historia de la ciencia en general y de las matemáticas en particular(Sistemas Axiomáticos).Todo esto gracias a los griegos.

A pesar de que la civilización griega antigua duró hasta el 600 d.C. aproximadamente,  desde el punto de vista de la historia de la matemática conviene distinguir dos periodos: el clásico, que va desde el 600 al 300 a.C., y el alejandrino o helenístico, desde el 300 a.C. al 600 d.C.

El periodo clásico (600 al 300 a.C.)

Las contribuciones más importantes del periodo clásico se resumen en los Elementos de Euclides y las Secciones Cónicas de Apolonio. Estas obras tan acabadas nos dan muy poca información sobre los trescientos años de actividad creadora que las precedieron o de las cuestiones que iban a ser vitales en la historia posterior. La matemática clásica griega se desarrolló en diversos centros o escuelas que se sucedían unos a otros, basándose cada uno en la obra de sus predecesores. En cada uno de estos centros, un grupo informal de matemáticos realizaba sus actividades dirigidos por uno o más sabios. Es importante destacar que antes no existían maestro o profesores sino sabios, que se agrupaban en centros o escuelas, es un término mas antiguo.

Secciones cónicas de Apolonio.

Los Elementos de Euclides.

La primera de estas escuelas, la escuela jónica, fue fundada por Tales en Mileto. No se sabe con exactitud si Tales mismo enseño a muchos otros, pero si se sabe que los filósofos Anaximandro y Anaxímenes fueron discípulos suyos. Anaxágoras perteneció también a esta escuela, y se supone que Pitágoras mismo pudo haber aprendido matemáticas de Tales. Como se puede apreciar dicha escuela tenia que ver más con filosofía que con matemática.

El periodo helenístico o Alejandrino (300 a.C. al 600 d.C.)

En este periodo acontecen una serie de hecho vinculados con Alejandro Magno hijo de Filipo de Macedonia los cuales llevaron a la destrucción de la civilización clásica griega y puso las bases de otra civilización, esencialmente griega pero de
carácter completamente diferente; pero no voy a enfatizar eso, sino que Euclides y Apolonio fueron también alejandrinos, pero sus trabajos(Los Elementos y Las Secciones Cónicas respectivamente) fueron registrados en el periodo clásico como ya había dicho y reitero nuevamente, por supuesto que los restantes grandes matemáticos alejandrinos, como Arquímedes, Eratóstenes, Hiparco, Nicomedes, Herón, Menelao, Ptolomeo, Diofanto y Pappus desplegaron el genio griego para la matemática teórica y abstracta con notables diferencias.

La geometría alejandrina se dedicaba principalmente a la obtención de resultados útiles para el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. Además, los griegos clásicos, debido a que no tomaban en consideración los números irracionales, produjeron una geometría acotada solo a los números enteros. Los alejandrinos, de acuerdo con la práctica de los babilonios, no dudaron en usar los irracionales y asignar libremente números a longitudes, áreas y volúmenes. La culminación de estos trabajos fue el desarrollo de la trigonometría. Incluso más significativo fue el hecho de que los alejandrinos resucitaron y extendieron la aritmética y el álgebra, que se convirtieron en temas de pleno derecho. Este desarrollo de la ciencia de los números era, por supuesto, imprescindible si se pretendía obtener un conocimiento completo tanto de los resultados geométricos como del uso directo del álgebra(esto hablando de una geometría que tuviera aparte de los números enteros también los ahora llamados racionales e irracionales) .

Veamos un ejemplo:

El teorema de Pitágoras es de manera cualitativa(es decir que solo describa su características) es:

"En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Esto es, usando el lenguaje formal que dicta el álgebra:

si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b y la medida de la hipotenusa es c, se establece que: c² = a² + b²

Y de manera cualitativa(ya sustituyendo las expresiones algebraicas por números) es: siendo c = 5 , a = 3 y b = 4 sustituyendo en la expresión de manera algebraica del teorema de Pitágoras tenemos que: c² = a² + b² entonces esto es igual a 5² = 3² + 4² , lo que es igual a 25 = 9 + 16 , lo que es igual a 25 = 25.

Por supuesto que esta es solo una demostración de muchas, ya que el teorema de Pitágoras es el más demostrado de la historia, sólo nos hace falta la demostración lógica, de la cual estaremos hablando más adelanté(en otra entrada) y la cual esta envuelta en los mitos de una sociedad secreta llamada "los Pitagóricos".

El teorema de Pitágoras se utiliza para demostrar que un triángulo cualquiera es rectángulo y ni hablar de la matemática aplicada, la astronomía entre otras.

En la siguiente entrada la biografía de Tales de Mileto y sus aportes a la matemáticas específicamente a la geometría. Iremos en orden cronológico.

Referencias:
Universidad de Granada(s.f.). Geometría en Grecia. Disponible en: https://www.ugr.es › ~fjlopez › _private. (Consulta diciembre,2018)

Hiparco de Nicea y su aporte a las matemáticas

Hiparco de Nicea el único responsable de la primera tabla de cuerdas y el nacimiento de la trigonometría.


Según Boyer (1999)Citado por Vargas,K. El estudio de la trigonometría se inició con Hiparco de Nicea (190-120 a.C.), considerado por la gran mayoría de autores como el más grande astrónomo de la antigüedad. Se sabe muy poco de su vida y se tienen muy pocos detalles sobre sus escritos. La mayor parte de la información de su trabajo en trigonometría y astronomía aparece referenciada en El Almagesto de Claudio Ptolomeo y en los comentarios sobre el Almagesto hechos por Teón y Pappus de Alejandría, quienes afirmaron que Hiparco escribió una obra sobre cuerdas en 12 libros que desafortunadamente desaparecieron.

Almagesto

Igualmente, Boyer (1999)Citado por Varga,K. Alude que a Hiparco se le atribuye la invención de la primera tabla trigonométrica, o por lo menos, es Hiparco la primera persona de la cual se tiene evidencia documental que hace un uso sistemático de ésta tabla. El único escrito de Hiparco que se conserva es un comentario que hizo sobre los trabajos de Arato y Eudoxo, compuesto por tres libros que tratan temas astronómicos.

Una contribución muy importante de Hiparco a la astronomía y en consecuencia a la trigonometría, fue la construcción de una tabla de cuerdas, que en términos trigonométricos correspondería a una tabla moderna de valores para la función seno, razón por la cual se le atribuye la invención de la trigonometría y se le reconoce como el padre de ésta rama de las matemáticas. En este sentido y más allá de la construcción de la tabla de cuerdas, Toomer (1974)Citado por Vargas,K. Afirma que la gran contribución de Hiparco fue proporcionar una solución general a los problemas trigonométricos, por lo cual transformó la astronomía griega de ciencia teórica en ciencia predictiva y práctica.

Según Toomer (1974)Citado por Vargas K. La explicación del porqué de éstas afirmaciones se puede encontrar en la descripción detallada que hace Claudio Ptolomeo en El Almagesto sobre el método de Hiparco: Para él era necesario hacer un tratamiento sistemático y cuantitativo de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste. El método usado para hacer dicho tratamiento era a partir de la medición de cuerdas y ángulos. Así, Hiparco introdujo en los griegos la división sistemática del círculo en 360 grados y la división del diámetro del círculo en 120 partes, probablemente con la intención de que el radio midiera 60 unidades. Cada parte tanto del círculo como del diámetro la dividió a su vez en 60 partes, y cada una de éstas nuevamente en 60. De esta manera, a cada ángulo del círculo le correspondía la cantidad de unidades en la cuerda subtendida y en el radio respectivo. Este método constituye un gran aporte para el desarrollo de los conceptos de ángulo, cuerda y razón en el sentido trigonométrico, dado que la cantidad de unidades de longitud de la cuerda que subtiende el ángulo, con relación a la cantidad de unidades de longitud del radio, entendiendo que la relación cuerda – radio depende únicamente del ángulo, correspondería al concepto de función cuerda, que actualmente llamamos función seno.

AB = Crd α, AC = CB = ½ crd α

Sen α/2 = (½ Crd α) / r

En la figura, α es el ángulo comprendido por el arco AB, luego α/2 es el semi – ángulo definido por la mediatriz de la cuerda AB. Para Hiparco la relación entre la semi –cuerda y el radio “AC/OA” es la cantidad de unidades en la semi – cuerda cuando el radio, por ser la mitad de un diámetro de 120 unidades, tiene el valor de 60 de unidades, que se puede expresar en términos trigonométricos como: Sen (α/2) = AC/OA. 

Como AC = ½ Crd α y OA = r, se obtiene la expresión:

Sen (α/2) = (½ Crd α) / r  r Sen (α/2) = ½ Crd α  Crd α = (r Sen (α/2))/ ½

Por lo que la función cuerda queda definida como Crd α = 2r Sen (α/2)

Un ejemplo particular es si la cuerda del ángulo α mide 40 unidades, entonces al 

reemplazar los valores en la expresión Sen (α/2) = AC/OA, se obtiene: Sen (α/2) = 20/60.

Como 20 unidades = ½ Crd α, entonces Sen (α/2) = 1/60 · ½ Crd α, luego:

Sen (α/2) = (1/120) Crd α  Sen (α/2) = 40/120 = 1/3

Se cree además que Hiparco construyó la tabla de cuerdas con el propósito de dar un método para resolver triángulos al establecer explícitamente las relaciones entre las medidas lineales y angulares en triángulos rectángulos, en tanto que, según Toomer (1974)Citado por Vargas,K. Construyó las relaciones de dependencia entre las semi – cuerdas como medidas lineales y los semi – ángulos como medidas angulares, con un radio fijo para el círculo. En este sentido, y en términos modernos, podemos hablar del nacimiento de los conceptos de razón y función asociados al seno de un ángulo. La importancia de los conceptos de razón y función seno radica en la necesidad de resolver triángulos para realizar cálculos en astronomía, para lo cual este tipo de procesos y el uso de la tabla de cuerdas eran muy frecuentes. De hecho, al lograr relacionar los lados y los ángulos de cualquier triángulo plano, era posible analizar las propiedades de un triángulo esférico en la esfera celeste, como método práctico bajo los mismos principios. Es probable que Hiparco haya pensado en la idea de variación de las cuerdas en función de la variación del ángulo que las subtiende tomando amplitudes de 7½ en 7½ grados sexagesimales (cuarentaiochoavas partes de la circunferencia), al lograr encontrar una relación entre dos magnitudes, dando lugar al primer acercamiento al concepto de función trigonométrica.

Por ende se dice que Hiparco fue el creador de la trigonometría porque fue él quien mediante su famosa tabla de cuerdas qué fue creada con motivo del estudios astronómicos, quien descubre la actual tabla de senos que hoy conocemos. Sin ninguna coincidencia ya que todos sabemos que ciencia es sinónimo de matemáticas y matemáticas es sinónimo de ciencia.

Referencias.

Kelly,A. Vargas M.(2013).Una propuesta para la enseñanza de la trigonometría desde los conceptos de razón, ángulo y cuerda,basada en la construcción de las tablas de cuerdas del Almagesto de Ptolomeo. Universidad Nacional de Colombia. Facultad de ciencias Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales.Bogotá,Colombia.Disponible en: https://www.google.co.ve/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.bdigital.unal.edu.co/12911/1/01186836.2013.pdf&ved=2ahUKEwj1i6mX-Z_aAhUPON8KHdIIBEYQFjAAegQIAhAB&usg=AOvVaw24Ug5bUzKudkOmAjO4kEAH

Hiparco de Nícea uno de los mas grandes pensadores de la astronomía.

Hiparco de Nicea (190-120 A.C.) 

Es considerado el astrónomo más destacado de la antigüedad. Nació en Nicea, Bitinia, pero pasó la mayor parte de su vida fuera de su tierra, principalmente en Rodas, centro rival de Alejandría.

Elaboró un catálogo de estrellas el año 129 A.C. Para ello montó un observatorio en Rodas, en donde él mismo construyó sus propios instrumentos, que le permitieran determinar con precisión la posición de las estrellas en el cielo. Con este fin seleccionó 850 estrellas brillantes, que dividió en seis categorías, según brillo aparente (o magnitud) y especificó la magnitud de cada estrella en su catálogo. Según la escala de Hiparco, mayor magnitud indica que la estrella es menos luminosa, esta escala ha permanecido hasta nuestros días, donde una estrella puede ser visible a simple vista hasta magnitud seis. Además, Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios al comparar sus observaciones estelares con otras más antiguas, de unos 150 años antes. Se dio cuenta de que la dirección del polo celeste había cambiado. Esto se debe a que la Tierra tiene un movimiento similar al de un trompo en torno a su eje, que está inclinado respecto de la eclíptica. De esta forma el eje de la Tierra se mueve formando el manto de un cono, completando un ciclo en 26.000 años. Este gran sabio fue un precursor en haber tratado de hacer observaciones más exactas y numerosas, a diferencia de los estudiosos de la época que sólo describían los fenómenos más bien cualitativamente. Cabe destacar que en la astronomía la precesión de los equinoccios es el cambio lento y gradual en la orientación del eje de rotación de la tierra,que hace que se desplace alrededor del polo de la elíptica,trazando un cono y recorriendo una circunferencia completa cada 25.776 años.

Véase más animado...

Utilizó el método de Aristarco de Samos para medir la distancia a la Luna en un eclipse. Gracias a las correcciones que hizo a las mediciones de Aristarco obtuvo una distancia de 60 radios terrestres entre nuestro planeta y su satélite.
Con el estudio de observaciones antiguas determinó con precisión la longitud del año y la desigualdad de las estaciones, llegando a un valor de la duración del año que sólo difiere en seis minutos con el real. Propuso que el sol se mueve durante el año sobre un epiciclo en la dirección este-oeste, mientras que el centro del epiciclo se mueve en un círculo alrededor de la Tierra, pero en dirección opuesta. Este modelo, si bien no corresponde a la realidad, es suficiente para dar una explicación a las observaciones que se tenían en esa época, en donde todas ellas habían sido hechas a simple vista. De la misma forma dio explicación al movimiento lunar con el uso de un epiciclo inclinado respecto a la eclíptica. Por otra parte, tuvo el mérito de introducir la trigonometría esférica en los cálculos astronómicos, habiendo hecho tablas de cuerdas (lados de los triángulos esféricos), primeras formas de las tablas de funciones circulares. Hiparco no logró completar una teoría sobre el movimiento de los planetas, pues se dio cuenta de que necesitaba un mayor número de observaciones precisas. Sin embargo, al abandonar la idea de construir dicha teoría, decidió realizar las observaciones necesarias para que en el futuro se pudiese completar.
Por todo esto, es por lo que Hiparco es considerado uno de los más grandes
pensadores de la Astronomía y el más excepcional de la antigüedad.

Referencias:

Wikipedia. Precesión de los equinoccios. Disponible en:https://es.m.wikipedia.org/wiki/Precesión_de_los_equinoccios


Kelly, A. Vargas M.(2013).Una propuesta para la enseñanza de la trigonometría y la astronomía, desde los conceptos de razón, ángulo y cuerda, basada en la construcción de las tablas de cuerdas del Almagesto de Ptolomeo. Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales Bogotá, Colombia. Disponible para la descarga en:https://www.google.co.ve/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.bdigital.unal.edu.co/12911/&ved=2ahUKEwjyiYaZuJ_aAhVIJt8KHalfCFEQFjABegQIBxAB&usg=AOvVaw1a1eq53QFZ6AtBgVs26Q11

Vida y obra de Hiparco de Nicea.

A continuación se hará mención de Hiparco de Nicea un gran filosofo que ha pesar de no tener el reconocimiento que tiene Pitagoras por ejemplo,realizó aportes notables a la matemática.

Hiparco nace en(Nícea 190a.c.y muere aproximadamente 102a.c)fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego.

Entre sus aportes mas resaltantes se encuentran.

1. El primer catálogo de estrellas.
2. La división del día en 24 horas de igual duración
3. El descubrimiento de la  precesión de los equinoccios.
4. La distinción entre año siderico y ano trópico.
5. Mayor precisión en la medida de la distancia de la tierra-luna.
6. Y el mas grande de todos la invención de la trigonometría y los conceptos de latitud y longitud.

Aquí les dejo un vídeo que muestra su presencia en la trigonometría.

Referencias.

http://personajesmatematico.blogspot.com/2014/08/hiparco-de-nicea-y-sus-aportes-la.html